话说有位禅师……

2012年流行过一种禅师体。记得有位青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让我非常讨厌，有什么什么方法能让她改变？” 禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来。” 意思是说，世上哪有只有正面，没有反面的东西。 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。 禅师拿着青年的莫比乌斯环说：“正面亦是反面，反面亦是正面。优点和缺点，只是看待的角度方式不同罢了。施主既然知晓这莫比乌斯环的深意，又何必在意她的小缺点呢。” 青年拜服，转身离去。禅师继续诵经，经书上赫然写着三个大字：拓扑学。 青年走出禅院，一回望，发现禅院上赫然写着三个大字“龙泉寺”。

这个有趣的段子当然只是戏言！我想谁也不会闲着没事向禅师找茬。

不！我错了。回首历史，竟然还真有人拿着莫比乌斯环去坑“老禅师”的，甚至还在其自传《你干吗在乎别人怎么想》里得意的描述整个事件。他就是诺贝尔物理奖得主理查德·费曼（1918～1988），被认为是爱因斯坦之后最睿智的理论物理学家，24岁时就参与秘密研制原子弹项目的“曼哈顿计划”，也是第一位提出纳米概念的人。

原来，那时这个年轻的天才正在追求一位美女阿琳·格林鲍姆。某次，阿琳正在为一个哲学课作业“笛卡尔的‘我思故我在’”发愁，并提到，“我们老师说，任何事物都像纸张一样有两面。”这个可是难得的破绽，于是，费曼为女朋友准备了一条莫比乌斯环纸带。于是，在第二天课上，她故意等到老师举着一张纸，说，“任何事物都像纸一样，有两面……”。 阿琳举起莫比乌斯环说：“老师，您所说的都有两面。可是，我这儿有张只有一面的纸！”话音刚落，那位哲学教授和全班同学都惊奇不已，阿琳自然很得意。从此……（懂点拓扑学不仅可以获物理学诺奖，还可以获得美人芳心！）

莫比乌斯环乍看起来似乎不过是数学中意外发现的一个新奇的玩具而已。其实，这个“怪圈”远非数学中的一个拓扑游戏。莫比乌斯1858年发现了它，可有关论文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久．1865年发表出来后以奇妙的单侧单面性吸引无数学者步入拓扑的殿堂，从而促进了拓扑学的形成和发展。它更因其所具有的特性和内在的意义，被大量的运用于生活和艺术设计中。

谁说“凡事都有两面”？

早在159年前（1858年），德国数学家莫比乌斯就发现了只有一个面的纸带，它就是莫比乌斯环（也叫莫比乌斯带）！

（1）如果我们用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像剪出一个两倍长的纸圈！有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！

（2）再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

莫比乌斯环是历史上第一个被人类注意到并加以研究的单面曲面，19世纪中叶之前没有人描述过单面曲面，这似乎令人难以置信，但寻遍历史数据，却真的找不到任何相关记录。

生活中的莫比乌斯环

莫比乌斯环是一个在一般社会大众中拥有高知名度的研究主题，用“神奇”和“优雅”来形容它再合适不过。在数学、魔术、科学、艺术、工程、文学、音乐等领域，都能看到莫比乌斯环的独特的美。

莫比乌斯环戒指——莫比乌斯环象征着爱与融合！

这枚莫比乌斯环婚戒标写着：“我会一直在你身边！”真是寓意深远！

莫比乌斯环循环标志－循环再造再利用。

莫比乌斯环传送带－分摊磨损，不至于只磨损一个面。

密码——青铜

西班牙现代雕塑大师苏比拉克作品的“密码”这件作品由三部分组成：作品上部分的数字方格是“苏比拉克幻方”，方框内的16个数字横、竖、斜或分组相加均为33。33是耶稣死亡的年龄，也是耶稣复活的年龄！作品中间部分的“环带”就是“莫比乌斯带”，象征无限远的意义。同时，又有魔幻和神秘之意义。作品下部分的织物皱褶则象征古希腊文明的艺术特点。

邮票上的莫比乌斯环

瑞典1982年发行了“不可能的图形”系列邮票，其中有一枚邮票，这是一个立体化的“莫比乌斯圈”。只是，这种莫比乌斯环在现实中是不可能存在的，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。 “不可能的图形”邮票

各种Logo中的莫比乌斯环（这不是广告）。

莫比乌斯环触发的各种设计创意

上海世博会的湖南馆“桃花源里·湘都”，主体建筑外观采用了双莫比乌斯环扣造型，外表用纸装饰，远观如一尊巨大的动态雕塑艺术品。整个“魔比思环”就像展开的卷轴，环体上的影像组成循环流动的彩带，时而全景演播，时而滚动变化，时而回归为纯净的留白，给人以更多静思与遐想的空间。

哈萨克斯坦国家图书馆

还有坐落在哈萨克斯坦共和国首都阿斯塔纳的哈萨克斯坦国家图书馆集现代特色和传统经典于一身，整个建筑呈向内“循环”的螺旋流线造型，简约而雅致。BIG建筑师事务所资金合伙人BjarkeIngels解释道：“国家图书馆的设计是将穿越空间与时间的四个世界性经典造型——圆形、环形、拱形和圆顶形——以莫比乌斯环的形式融合在了一起。它拥有环形的清晰明了，拥有圆形大厅的庭院设计、拥有拱形的走廊通道，以及蒙古圆顶帐篷般的柔和轮廓，四种建筑原型的结合创造了一个新的兼具地方性和国际性特色，既现代又永恒经典，既独特又具有建筑归属感的全新国家标志性建筑。”

这种建筑设计，可以在同样平面面积中通过不同角度的“空间扭曲”而让原有的空间在不同方向得以“延伸”，从而获得更多的可用空间。“它让墙壁在不同的角度变化，时而是墙，时而是屋顶，时而成了地板，最后又变成了墙。” 国家图书馆项目负责人托马斯～克里斯托弗森如是说。

中国科技馆的展品——“三叶扭结”

它是由“莫比乌斯环”演变而成的，是由一条三棱柱带经过三次盘绕，将其中的一端旋转120ﾟ后首尾相接，构成三面连通的单侧单边的三叶扭结造型。三叶扭结虽是立体图形，但只有一个面，即单侧面。这蓝白相间的灯不停地闪烁，乍看是个漂亮的灯饰，但细瞧，它也只有一面和一边，正喻示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，科学是相互连通的，科学和艺术也是相互连通的！

知道“鸟巢”的女朋友“凤巢”吗——凤凰卫视北京总部

建筑造型取意于“莫比乌斯带”，并借助莫比乌斯带的图解，将高层办公区和媒体演播室融合起来，在满足全方位提供节目制作场地及其他配套服务设施的同时，形成了一个完整的空间和体量。

版画大师埃舍尔作品《骑士》——形象直观的“莫比乌斯环”。

埃舍尔的矛盾空间——无限与不可能的世界

埃舍尔是荷兰科学思维版画大师，20世界画坛独树一帜的艺术家，他最擅长画矛盾空间，很多作品的创意也是由莫比乌斯环衍生而来！

这张图有意思，平台明明是在一个平面，可是却产生了瀑布。或者你从瀑布开始看，流水顺着台子流下去，突然又流到了瀑布的源头。可见这也是不可能在现实生活中有的东西。都是错觉。

在画作《瀑布》中，水同时向上和向下流动。埃舍尔的创作灵感，来自于“彭罗斯三角形”，他在数学家彭罗斯父子合著的一篇名为《不可能的物体》，一种特殊的视觉错觉的文章中看到一张图表，彭罗斯三角形可以画出来，但是无法在三维空间中创造出来。展出的画作，揭示了这一视觉难题背后的原理，埃舍尔在创作它时，需要像数学家一样，面对复杂与繁琐。 埃舍尔对意大利不朽的爱，也可以在画中得到证明。远处的风景，正是受到意大利南部风光的启发。左下角那些奇怪的植物，它们以仅仅几厘米高的小型苔藓植物为模型，被极大地放大了体型。埃舍尔还用两个多面体装饰了这个结构的顶端。 《瀑布》是埃舍尔最不可思议的建筑之一，此外，展览还呈现了其他特殊建筑，并且探索了空间悖论，这些图像让人们质疑自己的眼睛，以及对于物理定律的理解。

观景楼，1958年5月，石版画。画面中，楼梯既在建筑的里面，又在外面。二层是横向的，可是三层就变成纵向的了，二楼最左边的两根柱子，里面的珠子居然是支在外面的台子上。大家一看就有问题。这个建筑在现实生活中是绝对不可能被制造出来的。

深受“无限”概念吸引的埃舍尔说：“人类无法想象时间的洪流会停止，对我们而言，似乎即使地球不再绕着地轴和太阳转，即使那时没有昼夜，没有冬夏，时间也会永恒地流动，我们也无法想象，在夜空中最遥远的繁星背后存在着空间的镜头和虚无的边界。”

善与恶的混沌

莫比乌斯环是德国数学家莫比乌斯的发现，它所展现的丰富主题，200年来吸引了全世界无数哲学家和数学家。

莫比乌斯环有很多迷人的特征，比如它每一个局部都可以是正面，同样，每一个局部也可以被理解为反面。

除此之外，莫比乌斯环的一个重要特征是：

它没有边界！

如果世界是一个巨大的莫比乌斯环，那么你无需跨越任何边界，就能走完整个世界。

何谓正，何谓反？

何谓阴，何谓阳？

何谓善，何谓恶？

环内的世界，一切对立面均可交融统一。

从善出发，也许将抵达恶，正如哈耶克所言：通往地狱之路通常是由善意所铺就。

反之，由恶出发，彼岸却可能结出善之果，翻开中国历史，大乱之后必迎大治。

君不见，那些保护普通人免遭灾难的规则、法律和协议条约，不是由和平与宁静带来的，而是人类社会经历重重灾难和混乱后建立的”护城河“。

莫比乌斯环的发现

我们要先了解一下多面体的欧拉公式和四色定理。

问题是怎样判定这是一个面或一条边？

比如说：一张四边形纸条有几条边，几个面？容易知道，有4条边，2个面。

那么，能否将它变成2条边，2个面呢？

这个也容易做到，只要将它卷成一个圆柱形，即可。

怎么判断是两个面？

只要用一种颜色的绘笔，在纸圈上的一面涂抹，涂完一个面后，提笔才能重新涂另一个面。边也一样。

四边形纸条卷成圆柱形 那么再问：能否将它变成1条边，1个面呢？也就是说，能否用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成这种颜色而不留下任何空白？

关于这个问题，很多数学家都有过思考。德国数学家、天文学家莫比乌斯（Moebius，1790～1868）在研究“四色定理”时，也对此发生了浓厚兴趣。他长时间专心思索、试验，毫无结果。

1858年的一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。野外那新鲜的空气和清凉的风，使他顿感轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿，就连一片片肥大的玉米叶子，在他眼里都变成了“绿色的纸条儿”。这就是作为一名数学家的特性。他不由自主地蹲下来，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿。

突然，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了特殊的纸圈儿。接着，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”

就这样有意无意间，莫比乌斯发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称之为莫比乌斯环(Mobius strip)。同时独立发现这个怪圈的还有数学家约翰·李斯丁。 莫比乌斯于1809 年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文，尤其涉及天文和数学两大领域。担任过“数学王子”高斯（Gauss ，1777～1855）的助教，后在高斯的推荐下成为特级教授和莱比锡天文台的观测员，并于1848年成为莱比锡天文台台长。

莫比乌斯在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为这个用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯环。莫比乌斯也因此成了拓扑学研究的先驱者。 奇特的莫比乌斯环 如莫比乌斯所做的，只要将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端CD扭转180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一条莫比乌斯环。

莫比乌斯环的制作 这个莫比乌斯环的重要特性是：虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面，即这种曲面是只有一个面的 “单侧曲面”。

公正的蚂蚁无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面

若是在这样的二维世界里行走，你不用绕过边界就可以走遍整个世界。若是用一支笔沿着边界涂色，不用提笔就可以涂遍整个边界，就是说它也是一个只有一条边界的曲面。

这个怪圈因为具有一些奇异的性质而成为数学珍品之一。 下面，就让我们来探寻它的神秘之处。 （一）若是在莫比乌斯环的中间画上一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？ 实验结果：如果沿着莫比乌斯环中间剪开，和一般的纸带（会分成断开的两条环）不一样，而会形成一个比原来的莫比乌斯环周长大一倍、把纸带的端头扭转了四次再粘合一起的环。

（二）若是在莫比乌斯环的三等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？ 实验结果：如果沿着莫比乌斯环三等分处剪开，剪刀绕两个圈竟又回到原出发点，这时会形成两条带子，其中一条和原来的周长一样长，另一条则比原来的莫比乌斯环周长大一倍，而且两条是套在一起的。

（三）若是在莫比乌斯环的四等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？ 实验结果：如果沿着莫比乌斯环四等分处剪开，这时会形成两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，而且两条是套在一起的。

（四）若是在莫比乌斯环的五等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢呢？ 实验结果：如果沿着莫比乌斯环五等分处剪开，这时会形成三条带子，两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，另一条则和原来的周长一样长，而且三条是套在一起的。 由此规律，你能得出什么结论呢？ 下面继续见证奇迹。

（五）若是在（一）的结果基础上，对剪出来的环再沿着中间用剪刀剪开，又将得到什么结果呢？

（六）将两张叠在一起的长方形纸带制成一条莫比乌斯环。

（1）将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半圈，把相应的端头粘合在一起；

（2）把食指放在两层带之间移动；

（3）把双层带拉开成单层带，比较双、单层带的长度与扭转半圈数；

（4）将单层带恢复为双层带，同时沿它的中间线剪开。 通过以上这些步骤，分别又会发现什么呢？ 好吧！你们可以自己玩玩！ 相信一定能感受到这个“怪圈”神奇了。

最后，我们以这样一个故事结束吧！

一位农夫请了工程师、物理学家、逻辑学家和拓扑学家来解决一个问题，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。逻辑学家用很少的篱笆把自己围起来，自豪地说：“我现在是在外面。”最后，拓扑学家来了，用篱笆围出一个莫比乌斯环，说：“我的这边就是。”于是，他围住了整个平面。